Aplicación del Método de Inducción Matemática

El método inductivo es un proceso de razonamiento que se basa en la observación y la experimentación para llegar a una conclusión general a partir de casos específicos. A partir de estos patrones o tendencias, se llega a una conclusión general o una teoría que se considera válida para todos los casos similares.

Se parte de la siguiente Proposición para explicar la metodología de la Inducción Matemática.

Proposición:

•Para todo n (natural): 1+3+5+…+(2n-1)=n²
O sea, la suma de los números impares desde el primero hasta el n-ésimo impar , es equivalente a decir que el resultado es n² y nótese que el n-ésimo impar se escribe de la forma 2n-1

Por ejemplo:
1=1²
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=16=4²
.
.
.

Queremos demostrar que la proposición es verdadera, notemos que esta proposición es del tipo:

“para todo n (natural) : P(n)” donde P es otra proposición lógica (o sea, puede ser verdadera o falsa), en función de n.
Ejemplo proposición lógica:
•si P(n)≡ n>3,

entonces P(1), P(2) y P(3) son falsas, ya que n>3

pero P(4), P(5),P(6),… son verdaderas.

Bueno, en el caso original, de lo que queremos demostrar, tenemos “para todo n (natural): 1+3+5+…+(2n-1)=n²“, o sea, en este caso,

P(n) sería el valor de verdad de la igualdad:

P(n)≡[1+3+5+…+(2n-1)=n²]

Llevado al lenguaje de C++, es como decir:

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main(){
unsigned int n;
unsigned long long suma = 0;
cin>>n;
for(int i = 1; i < n+1; i++){
suma += 2*i-1;
}
bool P = (suma==n*n);
return 0;
}

Lo que querríamos ver es que el bool P siempre es verdad

Entonces:

por inducción matemática nos dice que si demostramos 1) y 2) :
•1)P(1)≡True.
•2) si k es un natural, y P(k)≡True, entonces P(k+1)≡True, necesariamente.

Entonces:

P(n)≡True, cualquiera sea el n natural, osea :

“para todo n (natural): P(n)“

tendríamos que comprobar:

1), que sería ver que P(1)≡(1=1²), la suma desde el primer impar hasta el primer impar es true, y, afortunadamente, 1=1².

Aclaración :
el símbolo ” ≡ “ en lógica (o matemáticas en gral fuera de congruencias) siginifica Equivalente

Por lo general demostrar este primero es lo más sencillo, porque es simplemente evaluar si la condición es verdadera para este caso inicial (que formalmente se le llama caso base).

Después, es demostrar la condición 2).

Para esto, asumimos que existe un número k (genérico) natural tal que P(k) sea true y de allí, con lógica (por lo general, es hacer artilugios aritméticos) .

Osea,

<asumamos que existe un k natural P(k)≡(1+3+5…+(2k-1)=k²) es True> (a esto, entre <>, le llamamos Hipótesis inductiva)

entonces 1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1) sería P(k+1),

la suma hasta el k+1-ésimo impar. Por la hipótesis inductiva:
1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)=[1+3+5+…+(2k-1)]+(2(k+1)-1)=k²+(2(k+1)-1)
Entonces de allí
1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k²+(2(k+1)-1)=k²+(2k+1)=k²+2k+1=(k+1)²

por binomio cuadrado perfecto.
Entonces sí se cumple
1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)=(k+1)²
Entonces P(k+1) es True (que se deduce por ser P(k) True).

Y bueno, con ello, cumpliéndose 1) y 2), Inducción nos habilita afirmar: